1.设a,b,c为正数，求证:1/2a+1/2b+1/2c≥1/(b+c)+1/(a+c)+1/(a+b)
2.在三角形ABC中，已知三角形ABC的面积为1/4，外接圆的半径为1，三边长为a,b,c,求证：√a+√b+√c<1/a+1/b+1/c ("√"为根号）
3。对于任意的三角形ABC，a,b,c分别为角A,B,C的对边，求证：1/2（1/a+1/b+1/c)≤cosA/a+cosB/b+cosC/c
參考答案:1、
先证明 (1/a) + (1/b) >= 1/(a+b)
因为：(1/a) + (1/b) = (a+b)/ab
所以：
(1/a) + (1/b) - 1/(a+b)
= (a+b)/ab - 1/(a+b)
= [ (a+b)^2 - ab ] / [ab(a+b)]
= [ (a^2 + b^2 + ab ] / [ab(a+b)]
>= 0
所以：(1/a) + (1/b) >= 1/(a+b)
所以：
1/2a + 1/2b + 1/2c
= (1/b + 1/c) + (1/a + 1/c) + (1/a + 1/b)
>= 1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b)
2、
三角形面积 S = (1/2)*a*b*sinC = 1/4
根据正弦定理，c / sinC = 2r = 2 （r为外接圆半径）
故：sinC = c/2r = c/2
所以：S = abc/4 = 1/4
即：abc = 1
所以：
1/a + 1/b + 1/c
= (1/√a)^2 + (1/√b)^2 + (1/√c)^2
>= (1/√a)(1/√b) + (1/√b)(1/√c) + (1/√a)(1/√c) ……（注：x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz）
= 1/√(ab) + 1/√(bc) + 1/√(ac)
= √(abc)/√(ab) + √(abc)/√(bc) + √(abc)/√(ac) ……（注：√(abc)=1）
= √a + √b + √c
取等号的条件是 a = b = c =1
但当a = b = c = 1 时，ABC的外接圆半径不等于1
所以不能取等号
所以：√a+√b+√c<1/a+1/b+1/c
3、
由余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC
变形，得：
cosC = ( a^2 + b^2 - c^2 ) / 2ab
同理：
cosB = ( a^2 + c^2 - b^2 ) / 2ac
cosA = ( b^2 + c^2 - a^2 ) / 2bc
所以：
cosA/a + cosB/b + cosC/c
= ( b^2 + c^2 - a^2 ) / 2abc + ( a^2 + c^2 - b^2 ) / 2abc + ( a^2 + b^2 - c^2 ) / 2abc
= (a^2 + b^2 + c^2) / 2abc
>= (ab + bc + ac) / 2abc
= 1/2 (1/a + 1/b + 1/c)
取等号的条件是 a = b = c
