陶哲轩实分析(图灵数学/统计学丛书)
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品牌: 陶哲轩
基本信息·出版社：人民邮电出版社
·页码：464 页
·出版日期：2008年
·ISBN：7115186936/9787115186935
·条形码：9787115186935
·包装版本：1版
·装帧：平装
·开本：16
·正文语种：中文
·丛书名：图灵数学/统计学丛书
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内容简介《陶哲轩实分析》强调严格性和基础性，《陶哲轩实分析》中的材料从源头——数系的结构及集合论开始，然后引向分析的基础(极限、级数、连续、微分、Riemann积分等)，再进入幂级数、多元微分学以及Fourier分析，最后到达Lebesgue积分，这些材料几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景的。书中还包括关于数理逻辑和十进制系统的两个附录。
作者简介陶哲轩(Terence Tao)2006年菲尔兹奖得主，享誉世界的澳大利亚籍华裔天才青年数学家，现任美国加州大学洛杉矶分校教授。在调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论和表示论等多个领域取得了许多重要成果。他的经历可谓传奇，12岁获得国际数学奥林匹克竞赛金牌(这项纪录至今无人打破)，21岁获得普林斯顿大学博士学位，24岁成为终身教授，2007年32岁时当选英国皇家学会会士。除菲尔兹奖外，他还荣获了著名的Alan t Watel man奖(奖金额50万美元)和clay研究奖等众多荣誉。
王昆扬 1943年生于广西河池金城江，北京师范大学教授、博士生导师，1985年获理学博士学位，导师孙永生教授，1991年任教授，1993年获博士生导师资格，
主要社会兼职有：政协北京市第九届委员、第十届委员(1998-2002，2003-2007)；教育部高校数学与统计学教指委数学分委委员(1996-2000，2001-2005)；中国数学会教育工作委员会主任(2()00-2003)；《数学进展》常务编辑委员(2000-2004-2009)；《数学研究与评论》编辑委员(2()06一)；Analysis in Theory and Ap-plications编辑委员(2006一)；德国Zbl Math评论员；美国Math Review评论员，
至今为止，发表学术论文65篇，教学改革论文12篇；出版学术专著2部，教科书4部，译著4部．主持并完成教育部师范司教改重点项目．JS032A(1998-2000)，两度主持国家理科基地创建名牌课程项目，四度主持国家自然科学基金自由申请项目(1992-2003)，两度主持中俄国际学术合作项目，并且主持“数学分析”国家级精品课程(2005一)，
多次获得各项荣誉和奖励，如1989年国家教委科技进步一等奖和国家自然科学四等奖(合作)，1990年全国优秀科技图书二等奖，1997年宝钢优秀教师奖，2001年度宝钢优秀教师特等奖，全国模范教师称号(200111004号)，2002年全国普通高等学校优秀教材二等奖，先进工作者称号(教育部、国家自然科学基金委2002年)，2003年北京市名师奖，
编辑推荐《陶哲轩实分析》的材料与习题紧密结合，目的是使学生能动地学习课程的材料，并且进行严格的思考和严密的书面表达的实践。“我对此书的赞赏，首先是它的逻辑严格。从实数(甚至自然数)讲起，不留任何漏洞。国内外的实分析教科书，认真讲实数的实在不多。其次是陶哲轩认真的教学态度。他的讲述，贯穿严谨、透彻的精神，而其苦口婆心的态度，分外令人感动。第三，此书是基于讲义写成的，我赞赏它的令人读来感到亲切的风格。”
——王昆扬，北京师范大学教授
源自华裔天才数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩在加卅I大学洛杉矶分校教授实分析课程的讲义。原著分为两卷，中译本将两卷合并出版。
全书从分析的源头——数系的结构及集合论开始，然后引向分析的基础，再进入幂级数、多元微分学以及Fourier分析，最后到达Lebesgue积分。这些材料几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景的，将严格性和直观性完美结合起来。而且课程的材料与习题配合无间，非常便于学习。
目录
第一部分
第1章引论
1.1什么是分析学
1.2为什么要做分析
第2章从头开始：自然数
2.1Peano公理
2.2加法
2.3乘法
第3章集合论
3.1基本事项
3.2Russell悖论（选读）
3.3函数
3.4象和逆象
3.5笛卡儿乘积
3.6集合的基数
第4章整数和比例数
4.1整数
4.2比例数
4.3绝对值与指数运算
4.4比例数中的空隙
第5章实数
5.1Cauchy序列
5.2等价的Cauchy序列
5.3实数的构造
5.4给实数编序
5.5最小上界性质
5.6实数的指数运算,第Ⅰ部分
第6章序列的极限
6.1收敛及极限的算律
6.2广义实数系
6.3序列的上确界和下确界
6.4上极限、下极限和极限点
6.5某些基本的极限
6.6子序列
6.7实的指数运算,第Ⅱ部分
第7章级数
7.1有限级数
7.2无限级数
7.3非负实数的和
7.4级数的重排
7.5方根判别法与比例判别法
第8章无限集合
8.1可数性
8.2在无限集合上求和
8.3不可数的集合
8.4选择公理
8.5序集
第9章R上的连续函数
9.1实直线的子集合
9.2实值函数的代数
9.3函数的极限值
9.4连续函数
9.5左极限和右极限
9.6最大值原理
9.7中值定理
9.8单调函数
9.9一致连续性
9.10在无限处的极限
第10章函数的微分
10.1基本定义
10.2局部最大、局部最小以及导数
10.3单调函数及其导数
10.4反函数及其导数
10.5L'Hopital法则
第11章Riemann积分
11.1分法
11.2逐段常值函数
11.3上Riemann积分与下Riemann积分..
11.4Riemann积分的基本性质
1.5连续函数的Riemann可积性
11.6单调函数的Riemann可积性
11.7一个非Riemann可积的函数
11.8Riemann-Stieltjes积分
11.9微积分的两个基本定理
11.10基本定理的推论
第二部分
第12章度量空间
12.1定义和例
12.2度量空间的一些点集拓扑知识
12.3相对拓扑
12.4Cauchy序列及完备度量空间
12.5紧致度量空间
第13章度量空间上的连续函数
13.1连续函数
13.2连续性与乘积空间
13.3连续性与紧致性
13.4连续性与连通性
13.5拓扑空间（选读）
第14章一致收敛
14.1函数的极限值
14.2逐点收敛与一致收敛
14.3一致收敛性与连续性
14.4一致收敛的度量
14.5函数级数和WeierstrassM判别法
14.6一致收敛与积分
14.7一致收敛和导数
14.8用多项式一致逼近
第15章幂级数
15.1形式幂级数
15.2实解析函数
15.3Abel定理
15.4幂极数的相乘
15.5指数函数和对数函数
15.6谈谈复数
15.7三角函数
第16章Fourier级数
16.1周期函数
16.2周期函数的内积
16.3三角多项式
16.4周期卷积
16.5Fourier定理和Plancherel定理
第17章多元微分学
17.1线性变换
17.2多元微分学中的导数
17.3偏导数和方向导数
17.4多元微分链法则
17.5二重导数与Clairaut定理
17.6压缩映射定理
17.7多元反函数定理
17.8隐函数定理
第18章Lebesgue测度
18.1目标：Lebesgue测度
18.2第一步：外测度
18.3外测度不是加性的
18.4可测集
18.5可测函数
第19章Lebesgue积分
19.1简单函数
19.2非负可测函数的积分
19.3绝对可积函数的积分
19.4与Riemann积分比较
19.5Fubini定理
附录A数理逻辑基础
附录B十进制
索引
……[看更多目录]
序言此书的材料来源于2003年我在加州大学洛杉矶分校教授高等本科水平实分析系列课程的讲义。本科生普遍认为实分析是最难学的课程之一，这不仅是由于许多抽象概念(例如拓扑、极限、可测性，等等)初次遇到，而且也是由于课程所要求的证明的高度严格性。由于认识到这个困难，老师常常面临困难的选择，要么降低课程的严格性水平而使其容易一些，要么保持严格的标准而去面对众多学生、甚至很多优秀学生在与课程的材料进行艰难奋斗时的求助与企盼。
面对此种困境，我尝试用一种稍许不同的方式来处理这门课程。按照典型的方式，在实分析中一系列导引内容是预先假定了的，假定学生已经熟知实数，熟知数学归纳法，熟悉初等微积分，并且熟悉集合论的基础知识，然后一下子就进入课程的核心内容，例如极限概念。通常确实会给进入课程的学生轻描淡写地展示一下这些预备性的知识，但在绝大多数情况下，这些材料都不是认真地叙述的。例如，极少有学生能够真正地定义实数，甚或真正地定义整数，尽管他们可以直觉地想象这些数字并熟练地对它们进行代数运算。我觉得这好像是失去了一个良好的机会，在学生首次遇到的课程当中，实分析(与线性代数和抽象代数一样)是这样的一门课，人们确实必须全力抓住一个真正严格的数学证明的本质。正因如此，这门课程提供了一个极好的机会去回顾数学的基础，特别是提供了一个做出实数的真正精确的解释的机会。
于是我这样来安排这门课。在第一周，我描述分析中的一些众所周知的“悖论”，在这些悖论中，平常的算律(例如极限与求和的交换，或求和与积分的交换)以不严格的方式加以使用而导出像0=1那样的荒谬的结果。这就启发我们提出这样的要求：回到事物的开端，甚至回到自然数的真正的定义，并且要求从头检验全部的基础原理。例如，第一个习题就是(只使用Peano公理)验证自然数的加法是结合的(即(a+b)+c=a+(b+c)对于一切自然数a，b,c成立，见习题2.2.1)。那么，即使是在第一周，学生也必须使用数学归纳法来写出严格的证明。当推导出自然数的全部基本性质之后，我们就转向整数(其原始定义是自然数的形式差)；一旦学生验证了整数的一切基本性质，我们就转向比例数①(其原义是整数的形式比)；而后我们就(经由cauchy序列的形式极限)转到实数。与此同时，还要涉及集合论的基础，例如演示实数的不可数性。仅在此后f大约十讲之后)我们才开始进入人们通常认为的实分析的核心内容——极限、连续性、可微性，等等。
文摘插图：
