拓扑(topology)原意地志学，1847年首次由Gauss的学生Listing引进。数学家称拓扑学为位置分析(analysis situs)，拓扑学是近代发展起来的高度抽象的一门几何学。根据德国数学家Erlangen纲领的思想，各种几何学可按照变换群进行分类，即几何学是研究空间在某种变换下的不变性质。例如，欧氏几何是研究刚体运动下的不变性质。仿射几何是研究仿射变换下的不变性质。
拓扑学是研究空间在拓扑变换(同胚)下的不变性质。同胚的空间X和Y是指X和Y之间存在双向连续(互逆且连续)的对应。形象比喻就是橡皮X在不允许隔断的情况下可以捏成Y。俗称橡皮几何学。
包括：Euler-Poincare示性数，五色地图着色问题，Jordan曲线定理，Riemann关于闭曲面间的拓扑分类。
其成为学科应归功于Poincare，他在研究代数簇的基础上，通过将空间剖分成若干个单形的组合，得出空间的Betti数、挠系数的计算方法(同调群)，还得出Euler定理的一般形式和基本群，流形对偶定理等。在1894~1912年这些成果，标志着拓扑学的创立。
1910-1920，Hausdorff,Alexander为代表产生点集拓扑这一分支。1930年引入群的思想，组合拓扑变成现在的代数拓扑，1940年以Whitney对微分流形的研究为代表，发展了微分拓扑。现在拓扑学已经成为近代纯粹数学的重要支柱，它的方法和结果已渗透到分析、代数、几何、计算，甚至于物理学等各领域。