在四面体ABCD中,∠BDC=∏/2,过点D作平面ABC的垂线,垂足S是ΔABC的垂心,试证:(AB+BC+CA)(AB+BC+CA) ≤6(AD*AD+BD*BD+CD*CD)
參考答案:数学 学的是分析问题，思考问题的方法，而不仅仅是记得一些定理，再去套用他。换句话说，几年，几十年以后，等你忘记所有学校所学的时候，你还能发现，读书时候的思维习惯，还影响着你做别的事情
立体几何早就忘的差不多了，多勒密定理是一点印象都没了（有这定理么？）
说说我的思维过程。
读到这个题目，脑子里先有一个三角形ABC，想有一根直线垂直穿过啊的垂心，在这跟直线上取一点D，使BDC=90，显然，D是唯一的。（有上下两个）。所以，只要确定了三角形ABC，也就确定了D。那么这题完全可以由勾股定理在平面下解决。因为AD，BD，CD都可以转化成DS（记作h）和AS，BS，CS的关系。而h可由ABC确定。
AD^2=h^2+AS^2
BD^2=h^2+BS^2
CD^2=h^2+CS^2
而BD^2+CD^2=BC^2
2*h^2=BC^2-BS^2-CS^2
至此，所有相关都在三角形ABC中，可以由三角形相似，或者立个坐标把ABC量化，爱怎么做怎么做
有了上面的思路，做的时候又发现AD^2+CD^2=AC^2。那么可以想到出题者的本意：
由DS垂直于平面ABC，有DS垂直于AB
又CS垂直于AB，有AB垂直于面DSC，那么AB垂直于CD
又因为CD垂直于BD，那么CD垂直于面ABD，所以AD垂直于CD，角CDA=90。
同理，角BDA=90。
6（AD^2+CD^2+BD^2）-(AB+BC+CA)^2=3AB^2+3BC^2+3AC^2-(AB+BC+AC)^2=(AB-BC)^2+(AB-CA)^2+(BC-CA)^2>=0
得证。
