原题目等效于证明：| a - b |^2 > [ f(a) - f(b) ]^2
[ f(a) - f(b) ]^2
= (√(1+a^2) - √(1+b^2) )^2
= 2 + a^2 + b^2 - 2√[ (1+a^2)*(1+b^2) ]
| a - b |^2 = a^2 + b^2 - 2ab
故题目相当于证明：
2 + a^2 + b^2 - 2√[ (1+a^2)*(1+b^2) ] < a^2 + b^2 - 2ab
即证明： 2 - 2√[ (1+a^2)*(1+b^2) ] < - 2ab
即需要证明：ab + 1 < √[ (1+a^2)*(1+b^2) ] …………①
若 ab + 1 < 0，则①式明显成立；
若 ab + 1 >= 0，则：
{√[ (1+a^2)*(1+b^2) ] }^2 = a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1
( ab + 1 )^2 = a^2b^2 + 2ab + 1
显然 a^2 + b^2 > 2ab （a平方≠b平方，故不能取等号）
所以：{√[ (1+a^2)*(1+b^2) ] }^2 > ( ab + 1 )^2
即：ab + 1 < √[ (1+a^2)*(1+b^2) ]
故①式得证。
因此原题目得证。
