流形的定义
拓扑空间<math>mathcal</math>在满足以下条件时，称<math>mathcal</math>为<math>m</math>维流形，即 <math>mathcal</math>为豪斯多夫空间，
对于任意一点<math>pinmathcal</math>，存在包含<math>p</math>的<math>m</math>维坐标邻域<math>(U,varphi)</math>。
可微流形的定义
设<math>rgeq 1</math>的自然数或者为<math>infty</math>，拓扑空间<math>mathcal</math>被称为是<math>m</math>维<math>mathbf^r</math>可微流形，如果，
<math>mathcal</math>为豪斯多夫空间
<math>mathcal</math>被m维坐标邻域所覆盖，换句话说，存在<math>mathcal</math>的<math>m</math>维坐标邻域族<math>left{(U_alpha,varphi_alpha)
ight}_{alphain A}</math>，使得<math>mathcal=cup_{alpha in A} U_alpha</math>
满足<math>U_alpha cap U_{eta}
eq phi</math>的任意<math>alpha,etain A</math>，坐标转换
<math>varphi_etacdot varphi_alpha^: varphi_alpha (U_alphacap U_eta) o varphi_eta (U_alphacap U_eta)</math>
为<math>mathbf^r</math>映射。
当<math>r=0</math>时，<math>mathbf^0</math>流形称为是拓扑流形；当<math>r=infty</math>时，<math>mathbf^infty</math>流形称为是光滑流形。
