KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。KM算法的正确性基于以下定理：
若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：
1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。
3）X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。
4）X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。
现在的问题就是求d值了。为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于：
Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。
以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A[ i ]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的slack值都减去d。
Kuhn－Munkras算法流程：
(1)初始化可行顶标的值
(2)用匈牙利算法寻找完备匹配
(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值
(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止
pascal代码:
Program Bamboobrook;
Const MaxN=1000;
Var Map:Array[0..MaxN,0..MaxN]of Longint;
X,Y:Array[1..MaxN]of Boolean;
Link,Lx,Ly:Array[0..MaxN]of Longint;
N,I,J:Longint;
Procedure Readit;
Begin
Assign(Input,'km.in');Reset(Input);
Readln(N);
For I:=1 to N do
For J:=1 to N do
Read(Map[I,J]);
Close(Input);
End;
Procedure Prepare;
Var I,J:Longint;
Begin
Fillchar(Lx,Sizeof(Lx),0);
Fillchar(Ly,Sizeof(Ly),0);
For I:=1 to N do
For J:=1 to N do
If(Map[I,J]>Lx[I])Then
Lx[I]:=Map[I,J];
End;
Function Find(K:Longint):Boolean;
Var I,Tmp:Longint;
Begin
X[K]:=True;
For I:=1 to N do
If(Not(Y[I]))And(Lx[K]+Ly[I]=Map[K,I])Then
Begin
Y[I]:=True;
Tmp:=Link[I];
Link[I]:=K;
If(Tmp=0)Or(Find(Tmp))Then
Exit(True);
Link[I]:=Tmp;
End;
Exit(False);
End;
Procedure KM;
Var I,J,K,d:Longint;
Begin
For K:=1 to N do
Repeat
Fillchar(X,Sizeof(X),False);
Fillchar(Y,Sizeof(Y),False);
If(Find(K))Then
Break;
d:=Maxlongint;
For I:=1 to N do
If(X[I])Then
For J:=1 to N do
If(Not(Y[J]))Then
If(Lx[I]+Ly[J]-Map[I,J]<d)Then
d:=Lx[I]+Ly[J]-Map[I,J];
For I:=1 to N do
Begin
If(X[I])Then
Dec(Lx[I],d);
If(Y[I])Then
Inc(Ly[I],d);
End;
Until False;
End;
Procedure Print;
Var Ans,I:Longint;
Begin
Assign(Output,'km.out');Rewrite(Output);
Ans:=0;
For I:=1 to N do
Inc(Ans,Map[Link[I],I]);
Close(Output);
End;
Begin
Readit;
Prepare;
Km;
Print;
End.
