代数独立

在抽象代数里，一个体L的子集S若被称做代数独立於一子体K的话，表示S内的元素都不符合系数包含在K内的非当然多项式。这表示任何以S内元素排成的有限序列α1, ..., αn(没有两个是一样的)和任一系数包含在K的非零多项式P(x1, ..., xn)，都会得到 P(α1,...,αn) ≠ 0 的结果。特别的是，单元素集合 {α} 若是代数独立於K的话，若且唯若α会是K内的超越数或超越函数。一般而言，和於K代数独立集合的所有元素也必然会是K内的超越数或超越函数，但反之则不必然。举例来说，实数R的子集{√π, 2π+1}并不代数独立於有理数Q，当存在一非零多项式 P(x_1,x_2)=2x^2_1-x_2+1 当x1代入√π和x2代入2π+1时会变成零。 林德曼－维尔斯特拉斯定理时常用做证明某些函数会代数独立於有理数。其内容为，当α1,...,αn为线性独立於有理数的代数数时，eα1,...,eαn便会代数独立於有理数。现在依然没有证明出集合{π, e}是否代数独立於有理数。Nesterenko在1996年证明了{π, eπ, Γ是代数独立於有理数的。给定一体扩张L/K，我们可以利用佐恩引理来证明总是存在一L的最大代数独立子集於K。甚至，所有个最大代数独立子集都会有相同的基数，称之为此一体扩张的超越次数。

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