复分析:可视化方法(图灵数学·统计字丛书)
分類: 图书,科学与自然,数学,数学分析,
品牌: Tristan Needham
基本信息·出版社:人民邮电出版社
·页码:521 页
·出版日期:2009年
·ISBN:7115208832/9787115208835
·条形码:9787115208835
·包装版本:1版
·装帧:平装
·开本:16
·正文语种:中文
·丛书名:图灵数学·统计字丛书
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内容简介《复分析:可视化方法》是复分析领域近年来产生了广泛影响的一本著作。作者独辟蹊径,用丰富的图例展示各种概念、定理和证明思路,十分便于读者理解,充分揭示了复分析的数学美,书中讲述的内容有作为变换看的复函数、默比乌斯变换、微分学、非欧几何学、环绕数、复积分、柯西公式、向量场、调和函数等。
《复分析:可视化方法》可作为大学本科生或研究生的复分析课程教材或参考书。
作者简介Tristan Needham,旧金山大学数学系教授,理学院副院长。牛津大学博士,导师为Roger Penrose(与霍金齐名的英国物理学家)。因本书被美国数学会授予Carl B. Allendoerfer奖。他的研究领域包括几何、复分析、数学史、广义相对论。
媒体推荐“……这本书有很高的独创性:在一门有近两百年历史的基础分支学科里,而且是已经有了数十部公认的名著的分支学科里,能够写出如此不同凡响的著作,实在难得。”
——齐民友
“《复分析:可视化方法》对我来说首先是一个欣喜,随后便成为深得我心的一本书。Tristan Needham 运用创新、独特的几何观点,揭示复分析之美中许多令人吃惊的、未被人们认识到的方面。”
——Roger Penrose
“如果你一年之内只能买一本数学书的话,那就买这一本吧。”
——Mathematical Gazette(数学公报)
编辑推荐《复分析:可视化方法》是复分析领域的一部名著,开创了数学领域的可视化潮流,自首次出版以来,已重印了十多次,深受世界读者好评。
《复分析:可视化方法》用一种真正不同寻常的、独具创造性的视角和可以看得见的论证方式解释初等复分析的理论,公开挑战当前占统治地位的纯符号逻辑推理。作者通过大量的图示使原本比较抽象的数学概念,变得直观易懂,读者在透彻理解理论的同时,还能充分领略数学之美。
目录
第1章 几何和复算术. 1
1.1 引言 1
1.1.1 历史的概述 1
1.1.2 庞贝利的"奇想" 3
1.1.3 一些术语和记号 5
1.1.4 练习 6
1.1.5 符号算术和几何算术的等价性 7
1.2 欧拉公式 8
1.2.1 引言 8
1.2.2 用质点运动来论证 9
1.2.3 用幂级数来论证 10
1.2.4 用欧拉公式来表示正弦和余弦 12
1.3 一些应用 12
1.3.1 引言 12
1.3.2 三角 13
1.3.3 几何 14
1.3.4 微积分 17
1.3.5 代数 19
1.3.6 向量运算 24
1.4 变换与欧氏几何 26
1.4.1 克莱因眼中的几何 26
1.4.2 运动的分类 30
1.4.3 三反射定理 32
1.4.4 相似性与复算术 34
1.4.5 空间复数 37
1.5 习题 3
第2章 作为变换看的复函数 47
2.1 引言 47
2.2 多项式 49
2.2.1 正整数幂 49
2.2.2 回顾三次方程 50
2.2.3 卡西尼曲线 51
2.3 幂级数 54
2.3.1 实幂级数的神秘之处 54
2.3.2 收敛圆 57
2.3.3 用多项式逼近幂级数 60
2.3.4 唯一性 61
2.3.5 对幂级数的运算 62
2.3.6 求收敛半径 64
2.3.7 傅里叶级数 67
2.4 指数函数 69
2.4.1 幂级数方法 69
2.4.2 这个映射的几何意义 70
2.4.3 另一种方法 71
2.5 余弦与正弦 73
2.5.1 定义与恒等式 73
2.5.2 与双曲函数的关系 74
2.5.3 映射的几何 76
2.6 多值函数 78
2.6.1 例子:分数幂 78
2.6.2 多值函数的单值支 80
2.6.3 与幂级数的关联 82
2.6.4 具有两个支点的例子 83
2.7 对数函数 85
2.7.1 指数函数的逆 85
2.7.2 对数幂级数 87
2.7.3 一般幂级数 88
2.8 在圆周上求平均值 89
2.8.1 质心 89
2.8.2 在正多边形上求平均值 91
2.8.3 在圆周上求平均值 94
2.9 习题 96
第3章 默比乌斯变换和反演 106
3.1 引言 106
3.1.1 默比乌斯变换的定义和意义 106
3.1.2 与爱因斯坦相对论的联系 107
3.1.3 分解为简单的变换 107
3.2 反演 108
3.2.1 初步的定义和事实 108
3.2.2 圆周的保持 110
3.2.3 用正交圆周构作反演点 112
3.2.4 角的保持 114
3.2.5 对称性的保持 115
3.2.6 对球面的反演 116
3.3 反演应用的三个例子 118
3.3.1 关于相切圆的问题 118
3.3.2 具有正交对角线的四边形的一个奇怪的性质 119
3.3.3 托勒密定理 120
3.4 黎曼球面 121
3.4.1 无穷远点 121
3.4.2 球极射影 121
3.4.3 把复函数转移到球面上 124
3.4.4 函数在无穷远点的性态 125
3.4.5 球极射影的公式 127
3.5 默比乌斯变换:基本结果 129
3.5.1 圆周.角度和对称性的保持 129
3.5.2 系数的非唯一性 130
3.5.3 群性质 131
3.5.4 不动点 132
3.5.5 无穷远处的不动点 132
3.5.6 交比 134
3.6 默比乌斯变换作为矩阵 136
3.6.1 与线性代数的联系的经验上的证据 136
3.6.2 解释:齐次坐标 138
3.6.3 特征向量与特征值 139
3.6.4 球面的旋转作为默比乌斯变换 141
3.7 可视化与分类 143
3.7.1 主要思想 143
3.7.2 椭圆型.双曲型和斜驶型变换 144
3.7.3 乘子的局部几何解释 146
3.7.4 抛物型变换 147
3.7.5 计算乘子 149
3.7.6 用特征值解释乘子 150
3.8 分解为2个或4个反射 151
3.8.1 引言 151
3.8.2 椭圆型情况 151
3.8.3 双曲型情况 152
3.8.4 抛物型情况 154
3.8.5 总结 154
3.9 单位圆盘的自同构 155
3.9.1 计算自由度的数目 155
3.9.2 用对称原理来求公式 156
3.9.3 最简单的公式的几何解释 157
3.9.4 介绍黎曼映射定理 158
3.10 习题 159
第4章 微分学:伸扭的概念 166
4.1 引言 166
4.2 一个令人迷惑的现象 166
4.3 平面映射的局部描述 168
4.3.1 引言 168
4.3.2 雅可比矩阵 168
4.3.3 伸扭的概念 170
4.4 复导数作为伸扭 170
4.4.1 重新考察实导数 170
4.4.2 复导数 171
4.4.3 解析函数 173
4.4.4 简短的总结 174
4.5 一些简单的例子 175
4.6 共形=解析 176
4.6.1 引言 176
4.6.2 在整个区域中的共形性 177
4.6.3 共形性与黎曼球面 179
4.7 临界点 179
4.7.1 挤压的程度 179
4.7.2 共形性的破坏 180
4.7.3 支点 181
4.8 柯西-黎曼方程 182
4.8.1 引言 182
4.8.2 线性变换的几何学 183
4.8.3 柯西-黎曼方程 184
4.9 习题 185
第5章 微分学的进一步的几何研究 190
5.1 柯西-黎曼的真面目 190
5.1.1 引言 190
5.1.2 笛卡儿形式 190
5.1.3 极坐标形式 191
5.2 关于刚性的一个启示 192
5.3 log(z)的可视微分法 195
5.4 微分学的各法则 196
5.4.1 复合 196
5.4.2 反函数 197
5.4.3 加法与乘法 198
5.5 多项式.幂级数和有理函数 198
5.5.1 多项式 198
5.5.2 幂级数 199
5.5.3 有理函数 201
5.6 幂函数的可视微分法 201
5.7 exp(z)的可视微分法 203
5.8 E'=E的几何解法 204
5.9 高阶导数的一个应用:曲率 206
5.9.1 引言 206
5.9.2 曲率的解析变换 207
5.9.3 复曲率 209
5.10 天体力学 212
5.10.1 有心力场 212
5.10.2 两类椭圆轨道 213
5.10.3 把第一种椭圆轨道变为第二种 215
5.10.4 力的几何学 216
5.10.5 一个解释 216
5.10.6 卡斯纳-阿诺尔德定理 217
5.11 解析拓展 218
5.11.1 引言 218
5.11.2 刚性 219
5.11.3 唯一性 220
5.11.4 恒等式的保持 222
5.11.5 通过反射作解析拓展 223
5.12 习题 227
第6章 非欧几何学 236
6.1 引言 236
6.1.1 平行线公理 236
6.1.2 非欧几何的一些事实 238
6.1.3 弯曲曲面上的几何学 239
6.1.4 内蕴几何与外在几何的对立 241
6.1.5 高斯曲率 241
6.1.6 常曲率曲面 243
6.1.7 与默比乌斯变换的联系 244
6.2 球面几何 245
6.2.1 球面三角形的角盈 245
6.2.2 球面上的运动:空间旋转和反射.. 246
6.2.3 球面上的一个共形映射 249
6.2.4 空间旋转也是默比乌斯变换 252
6.2.5 空间旋转与四元数 256
6.3 双曲几何 259
6.3.1 曳物线和伪球面 259
6.3.2 伪球面的常值负曲率 260
6.3.3 伪球面上的一个共形映射 261
6.3.4 贝尔特拉米的双曲平面 263
6.3.5 双曲直线和反射 266
6.3.6 鲍耶-罗巴切夫斯基公式 269
6.3.7 保向运动的三种类型 271
6.3.8 把任意保向运动分解为两个反射 275
6.3.9 双曲三角形的角盈 277
6.3.10 庞加莱圆盘 279
6.3.11 庞加莱圆盘中的运动 282
6.3.12 半球面模型与双曲空间 285
6.4 习题 289
第7章 环绕数与拓扑学 29
7.1 环绕数 298
7.1.1 定义 298
7.1.2 “内”是什么意思? 299
7.1.3 快速地求出环绕数 299
7.2 霍普夫映射度定理 301
7.2.1 结果 301
7.2.2 环路作为圆周的映射 301
7.2.3 解释 303
7.3 多项式与辐角原理 303
7.4 一个拓扑辐角原理 304
7.4.1 用代数方法来数原象个数 304
7.4.2 用几何方法来数原象个数 306
7.4.3 解析函数在拓扑上有何特殊 307
7.4.4 拓扑辐角原理 309
7.4.5 两个例子 310
7.5 鲁歇定理 311
7.5.1 结果 311
7.5.2 代数的基本定理 312
7.5.3 布劳威尔不动点定理 313
7.6 最大值与最小值 313
7.6.1 最大模原理 313
7.6.2 相关的结果 315
7.7 施瓦茨-皮克引理 315
7.7.1 施瓦茨引理 315
7.7.2 刘维尔定理 318
7.7.3 皮克的结果 319
7.8 广义辐角原理 321
7.8.1 有理函数 321
7.8.2 极点与本性奇点 323
7.8.3 解释 325
7.9 习题 326
第8章 复积分:柯西定理 334
8.1 引言 334
8.2 实积分 335
8.2.1 黎曼和 335
8.2.2 梯形法则 336
8.2.3 误差的几何估计 337
8.3 复积分 339
8.3.1 复黎曼和 339
8.3.2 一个可视化技巧 341
8.3.3 一个有用的不等式 342
8.3.4 积分法则 342
8.4 复反演 343
8.4.1 一个圆弧 343
8.4.2 一般环路 344
8.4.3 环绕数 346
8.5 共轭映射 347
8.5.1 引言 347
8.5.2 用面积来解释 347
8.5.3 一般环路 349
8.6 幂函数 349
8.6.1 沿圆弧的积分 349
8.6.2 复反演作为极限情况 351
8.6.3 一般回路和形变定理 351
8.6.4 定理的进一步推广 353
8.6.5 留数 353
8.7 指数映射 355
8.8 基本定理 356
8.8.1 引言 356
8.8.2 一个例子 356
8.8.3 基本定理 357
8.8.4 积分作为原函数 359
8.8.5 对数作为积分 361
8.9 用参数作计算 362
8.10 柯西定理 363
8.10.1 一些预备知识 363
8.10.2 解释 364
8.11 一般的柯西定理 366
8.11.1 结果 366
8.11.2 解释 367
8.11.3 一个更简单的解释 368
8.11.4 回路积分的一般公式 369
8.12 习题 370
第9章 柯西公式及其应用 377
9.1 柯西公式 377
9.1.1 引言 377
9.1.2 第一种解释 377
9.1.3 高斯平均值定理 378
9.1.4 第二种解释和一般柯西公式 379
9.2 无穷可微性和泰勒级数 380
9.2.1 无穷可微性 380
9.2.2 泰勒级数 381
9.3 留数计算 383
9.3.1 以极点为中心的罗朗级数 383
9.3.2 计算留数的一个公式 384
9.3.3 对实积分的应用 385
9.3.4 用泰勒级数计算留数 387
9.3.5 在级数求和上的应用 388
9.4 环形域中的罗朗级数 390
9.4.1 一个例子 390
9.4.2 罗朗定理 391
9.5 习题 394
第10章 向量场:物理学与拓扑学 398
10.1 向量场 398
10.1.1 复函数作为向量场 398
10.1.2 物理向量场 399
10.1.3 流场和力场 400
10.1.4 源和汇 402
10.2 环绕数与向量场 403
10.2.1 奇点的指数 403
10.2.2 庞加莱怎样看指数 406
10.2.3 指数定理 407
10.3 闭曲面上的流 408
10.3.1 庞加莱-霍普夫定理的陈述 408
10.3.2 定义曲面上的指数 410
10.3.3 庞加莱-霍普夫定理的解释 411
10.4 习题 413
第11章 向量场与复积分 417
11.1 流量与功 417
11.1.1 流量 417
11.1.2 功 419
11.1.3 局部流量和局部功 420
11.1.4 散度和旋度的几何形式 422
11.1.5 零散度和零旋度向量场 423
11.2 从向量场看复积分 425
11.2.1 波利亚向量场 425
11.2.2 柯西定理 427
11.2.3 例子:面积作为流量 428
11.2.4 例子:环绕数作为流量 429
11.2.5 向量场的局部性态 430
11.2.6 柯西公式 431
11.2.7 正幂 432
11.2.8 负幂和多极子 433
11.2.9 无穷远处的多极子 435
11.2.10 罗朗级数作为多极子展开 435
11.3 复位势 436
11.3.1 引言 436
11.3.2 流函数 437
11.3.3 梯度场 439
11.3.4 势函数 440
11.3.5 复位势 441
11.3.6 例 444
11.4 习题 445
第12章 流与调和函数 448
12.1 调和对偶 448
12.1.1 对偶流 448
12.1.2 调和对偶 451
12.2 共形不变性 453
12.2.1 调和性的共形不变性 453
12.2.2 拉普拉斯算子的共形不变性 454
12.2.3 拉普拉斯算子的意义 456
12.3 一个强有力的计算工具 457
12.4 回顾复曲率 459
12.4.1 调和等势线的几何性质 459
12.4.2 调和等势线的曲率 460
12.4.3 关于复曲率的进一步计算 463
12.4.4 复曲率的其他几何性质 464
12.5 绕障碍物的流 466
12.5.1 引言 466
12.5.2 一个例子 466
12.5.3 镜像法 470
12.5.4 把一个流映为另一个流 476
12.6 黎曼映射定理的物理学 478
12.6.1 引言 478
12.6.2 外映射和绕障碍物的流 479
12.6.3 内映射和偶极子 481
12.6.4 内映射.涡旋和源 483
12.6.5 一个例子:圆盘的自同构 485
12.6.6 格林函数 487
12.7 狄里希莱问题 491
12.7.1 引言 491
12.7.2 施瓦茨的解释 492
12.7.3 圆盘的狄里希莱问题 494
12.7.4 诺依曼和波歇的解释 496
12.7.5 一般的格林公式 501
12.8 习题 504
参考文献 507
译后记... 514
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序言已知的各种理论,时常可以用不同的物理概念来描述,而它们作出的一切预测可能都是等价的,因此它们在科学上没有区别,然而,当试图从那个基础走向未知世界时,这些理论在人们心理上则是不同的,因为不同的观点可能会提示作不同的修正,所以在企图了解尚未被理解的事物时,由它们产生的假设并非等价的。
R,P,Feynman[1966]
·一个寓言
假想有一个社会,在那里,鼓励(甚至是强迫)到了一定年龄的公民去读乐谱(有时还要谱曲),这一切都是令人尊敬的,然而这个社会有一个非常奇怪且令人苦恼的法律(几乎没有人记得这个法律是怎么来的?)——禁止听音乐和演奏音乐!
在这个社会里,虽然音乐的重要性是被广泛承认的,但是由于某些原因,音乐并没有被广泛地欣赏,可以肯定,教授们在起劲地抠巴赫,瓦格纳等人的伟大作品,他们尽其所能地向学生们传授他们在这些作品中找到的美丽的含义,但是如果劈头劈脑地问问他们“这究竟有什么意义?!”他们还只能无言以对!
这个寓言里,立法禁止学音乐的学生直接从“声音的直觉”去体验与理解音乐,明显是不公正不合理的,但是在我们的数学家社会里就有这样的法律,这是一条不成文的法律,虽然轻视它的人也还可能发迹,但是这是一条法律,那就是:禁止数学成为可视的!
很可能当一个人打开随便一本关于随便什么主题的现代数学教本时,他面对的就是抽象的符号推理,而与他关于实际世界的感官经验完全脱节,尽管他正在研究的现象时常是借助于几何(可能还有物理)直觉才发现的,
这反映了一个事实:近几百年来形象思维在数学中的名声被玷污了,虽然伟大的数学家们从来也不顾及这种风尚,然而“街头巷尾的数学家们”直到前不久才接受了几何的挑战。
这本书将用一种新的,可以看得见的(即可视化的)论证方式解释初等复分析的真理,公开地向当前占统治地位的纯符号逻辑推理叫板!
·计算机
对几何学的兴趣之所以又重新升起,部分是由于广大群众都能使用计算机来画出种种数学对象,也可能是由于与此有关的对混沌与分形理论的狂热的兴趣,本书则主张比较清醒地把计算机作为几何推理的辅助。
文摘插图: