第一题:已知抛物线y=x^2+4ax-4a+3,y=x^2+(a-1)x=a^2,y=x^2+2ax-2a中至少有一条与x轴相交,求实数a的取值范围
第二题:若二次函数f(x)=4x^2-2(p-2)x-2p^2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一点c,使f(c)>0,求实数p的取值范围
參考答案:第一题
y=x^2+4ax-4a+3=(x+2a)^2-(4a^2+4a-3)
y=x^2+(a-1)x+a^2=[x+(a-1/2)]^2+a^2-(a-1)^2/4
y=x^2+2ax-2a=(x+a)^2-(a^2+2a)
与x轴相交,则分别须满足
-(4a^2+4a-3)≤0
a^2-(a-1)^2/4≤0
-(a^2+2a)≤0
分别解出a≥1/2或a≤-3/2,-1≤a≤1/3,a≥0或a≤-2
画数轴可知若至少有一条与x轴相交,则实数a的取值范围为[-∞,-3/2]∪[-1,+∞]
第二题
f(x)=4x^2-2(p-2)x-2p^2-p+1=4[x-(p-2)/4]^2-[(p-2)^2/4+2p^2+p-1]
分三种情况讨论
1)对称轴x≤-1,则p-2/4≤-1,得p≤-2
又在区间[-1,1]内至少存在一点c,使f(c)>0,则f(-1)>0,解出-1/2<p<1
那么实数p无解
2)对称轴x≥1,则p-2/4≥1,得p≥6
又f(1)>0,解出-3<p<3/2
那么实数p无解
3)对称轴-1<x<1,则-2<p<6
又-[(p-2)^2/4+2p^2+p-1]>0解出实数p无解
所以不成立,为空集
